在 Holt-Winters 中发现更多隐藏的瑰宝
作者：Anais Dotis-Georgiou / 产品, 用例, 开发者
2019 年 3 月 7 日
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欢迎回到关于 Holt-Winters 的三部分博客文章系列，以及它为何在今天仍然高度相关。要理解第二部分，我建议阅读 第一部分，我们在其中涵盖了
- 何时使用 Holt-Winters；
- 单指数平滑 指数平滑 的工作原理；
- 单指数平滑优化的概念概述；
- 额外内容：线性回归残差平方和 (RSS) 优化的证明。
在本文的第二部分中，我们将探讨
- 单指数平滑如何与三重指数平滑/Holt-Winters 相关；
- RSS 如何与均方根误差 (RMSE) 相关；
- 如何使用 Nelder-Mead 方法优化 Holt-Winters 的 RMSE。
在 第三部分 中，我们将探讨
- 如何使用 InfluxDB 的内置乘法 Holt-Winters 函数在您的时间序列数据上生成预测；
- 学习资源列表。
单指数平滑如何与三重指数平滑/Holt-Winters 相关
与 SES 一样，Holt-Winters 可以用作一种强大而高效的预测性维护技术，它通过计算指数加权平均值来确定预测值——但它不止于此。
正如 Holt 和 Winters 先前所写，如果您的数据具有趋势和 季节性，那么您也应该计算这些值的加权平均值，并将它们纳入预测值中。
Holt-Winters 的乘法方法如下所示
其中， l_(t) 是平滑方程，b_(t) 是斜率，s_(t) 是季节性。斜率和季节性分别有两个额外的平滑参数 beta-star 和 gamma。我们希望预测的点数由整数 h 表示。一个周期中的季节数（通常以年为单位衡量，但也可能是月或天，具体取决于您的时间尺度）由 m 表示，k 是一个索引，用于确保预测基于适当的季节。预测值 y-hat 是通过考虑数据的三个特征得出的，这就是三重指数平滑得名的原因。但是请注意，每个方程仍然与 SES 非常相似，并且是指数加权平均值。
最后，方程 (7) 是乘法方法（还有加法 Holt-Winters 方法）。当季节周期恒定时，使用加法方法。当季节周期与序列的水平（或斜率）成比例变化时，使用乘法方法。这种比例关系由季节性方程的以下部分表示
我完全同意 Holt-Winters 看起来相当复杂。但是，现在您可以想象，我们只需要找到三个平滑参数而不是一个，以及更多初始值。这种优化以我们进行线性回归优化的相同方式执行。唯一的区别是我们不能只取偏导数来找到平滑因子；相反，我们将使用 Nelder-Mead 方法。我们将优化 RSME 而不是优化 RSS。“为什么？” 您可能会问？
RSS 如何与 RMSE 相关
RMSE 用于两个主要原因：1) 它是尺度相关的，以及 2) 它是归一化的。RMSE 是尺度相关的，因为误差以与 y_(t) 相同的单位表示。由于误差在相同的尺度上，因此它们具有直观意义。相比之下，对于 RSS，误差是平方的。RMSE 也是归一化的，而 SSE 更具可变性，并且依赖于样本大小。
作为提醒，RSS 看起来像这样
而 RMSE 仅仅是，
换句话说，RMSE 是 RSS 的平方除以 自由度 的数量。
如何使用 Nelder-Mead 方法优化 Holt-Winters 的 RMSE
还记得我们为最小化 RSS 而制作的碗吗？为了找到一个平滑参数 (alpha) 和一个初始值 (l_nought)？好吧，现在我们还必须找到两个更多的平滑参数 (beta-star 和 gamma) 和一个更多的初始值 (b_nought)。我们的优化已从三维问题演变为六维问题。我们将不得不执行一些非常困难的微分方程来解决它。我们也不再有一个漂亮的碗。存在局部最小值以及全局最小值。因此，我们不能仅仅将偏导数设置为 0 并求解这些参数。相反，我们必须使用更复杂的方法：Nelder-Mead 方法。Nelder-Mead 是一种 数值 方法，一种近似值，一种数学工具或解决难题的快捷方式。
Nelder-Mead 方法不是真正的全局优化算法。但是，它对于没有太多局部最小值的问题（例如我们的问题）效果很好。它的工作原理是在空间中放置一个 单纯形。这个单纯形就像一个小变形虫或动画球体。但是，它只能向下移动。它在每个方向上稍微拉伸一点，以确定下坡在哪里。一旦找到它，它就会向下移动一点。它重复该过程，直到它无法再移动为止。此时，单纯形“很高兴”，我们找到了最小值。单纯形的形状和位置由该方法确定。单纯形向下摆动只是通过应用于它的 for 循环中的一系列操作（即迭代地）进行的。使用数值方法进行优化的好处是，我们可以通过使用简单的数学而不是尝试执行昂贵且复杂的代数计算来找到非常好的近似值。
一旦我们找到了最小值，那么我们就找到了我们的平滑参数和初始值。我们在我们的 3 个方程中拥有了所有缺失的部分，我们可以使用 Holt-Winters 进行预测。
我希望本教程能帮助您开始您的预测之旅。如果您有任何问题，请在 社区网站 上发布，或在 Twitter 上 @InfluxDB 告诉我们。与往常一样，这是一个大脑放松时间：
